(1)

\begin{align*} 0 & =\sum_{k=a}^{a-1}f\left(k\right)\\ & =\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right) \end{align*} より、
\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=-\sum_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right) \] となるので与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} 1 & =\prod_{k=a}^{a-1}f\left(k\right)\\ & =\left(\prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)\right)\prod_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right) \end{align*} より、
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\left(\prod_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right)\right)^{-1}\\ & =\prod_{k=b+1}^{a-1}f^{-1}\left(k\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

\(f\left(x\right)\)の原始関数を\(F\left(x\right)\)とおくと、
\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =\int_{a}^{b}\frac{dF\left(x\right)}{dx}dx\\ & =\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}\\ & =F\left(b\right)-F\left(a\right)\\ & =-\left\{ F\left(a\right)-F\left(b\right)\right\} \\ & =-\left[F\left(x\right)\right]_{b}^{a}\\ & =-\int_{b}^{a}\frac{dF\left(x\right)}{dx}dx\\ & =-\int_{b}^{a}f\left(x\right)dx \end{align*} となるので与式は成り立つ。