[2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式

by nomura · 2025年5月3日

[2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式
関数$f\left(x\right)$は実数全体を定義域として、微分可能であり$f\left(x\right)>0$であり、
\[ f\left(x\right)=1+\int_{0}^{x}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt \] を満たする。
このとき、関数$f\left(x\right)$を求めよ。

与式で$x=0$を代入すると、
\begin{align*} f\left(0\right) & =1+\int_{0}^{0}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt\\ & =1 \end{align*} となる。
$f\left(x\right)$を微分すると、
\[ f'\left(x\right)=e^{x}\left(1+x\right)f\left(x\right) \] となり、$f\left(x\right)>0$なので両辺を$f\left(x\right)$で割ると、
\[ \frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=e^{x}\left(1+x\right) \] となる。
これの両辺を$x$で積分すると、左辺は、
\[ \int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\log f\left(x\right) \] となり、右辺は、
\begin{align*} \int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx & =\int e^{x}\left(1+x\right)dx\\ & =e^{x}\left(1+x\right)-e^{x}+C\\ & =xe^{x}+C \end{align*} となる。
積分定数$C$は左辺右辺どちらか一方のみでいいので右辺のみにしている。
これより、
\[ \log f\left(x\right)=xe^{x}+C \] となり、$C$について解くと、
\[ C=\log f\left(x\right)-xe^{x} \] であるので、$x=0$を代入すると、
\begin{align*} C & =\log f\left(0\right)-0e^{0}\\ & =\log1\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \log f\left(x\right)=xe^{x} \] となる。
これを$f\left(x\right)$について解くと、
\[ f\left(x\right)=e^{xe^{x}} \] となる。