[2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式

与式で\(x=0\)を代入すると、
\begin{align*} f\left(0\right) & =1+\int_{0}^{0}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt\\ & =1 \end{align*} となる。
\(f\left(x\right)\)を微分すると、
\[ f'\left(x\right)=e^{x}\left(1+x\right)f\left(x\right) \] となり、\(f\left(x\right)>0\)なので両辺を\(f\left(x\right)\)で割ると、
\[ \frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=e^{x}\left(1+x\right) \] となる。
これの両辺を\(x\)で積分すると、左辺は、
\[ \int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\log f\left(x\right) \] となり、右辺は、
\begin{align*} \int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx & =\int e^{x}\left(1+x\right)dx\\ & =e^{x}\left(1+x\right)-e^{x}+C\\ & =xe^{x}+C \end{align*} となる。
積分定数\(C\)は左辺右辺どちらか一方のみでいいので右辺のみにしている。
これより、
\[ \log f\left(x\right)=xe^{x}+C \] となり、\(C\)について解くと、
\[ C=\log f\left(x\right)-xe^{x} \] であるので、\(x=0\)を代入すると、
\begin{align*} C & =\log f\left(0\right)-0e^{0}\\ & =\log1\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \log f\left(x\right)=xe^{x} \] となる。
これを\(f\left(x\right)\)について解くと、
\[ f\left(x\right)=e^{xe^{x}} \] となる。