連分数の収束子の奇偶性
連分数の収束子の奇偶性
連分数\(\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots a_{n}\right]\)の収束子\(\frac{p_{k}}{q_{k}},k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} \)の奇偶性について次が成り立つ。
\(\forall n\in\mathbb{\mathbb{N}}_{0},a_{n}\in\mathbb{N},0<b_{n}\)とする。
すなわち、任意の\(k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \right\} \)に対し
\[ \frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}} \] となる。
すなわち、任意の\(k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor \right\} \)に対し
\[ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}} \] となる。
すなわち、任意の\(m\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \right\} ,k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor \right\} \)に対し
\[ \frac{p_{2m}}{q_{2m}}<\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \] となる。
連分数\(\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots a_{n}\right]\)の収束子\(\frac{p_{k}}{q_{k}},k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} \)の奇偶性について次が成り立つ。
\(\forall n\in\mathbb{\mathbb{N}}_{0},a_{n}\in\mathbb{N},0<b_{n}\)とする。
(1)
偶数階(要素数は奇数)の収束子は増大列となる。すなわち、任意の\(k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \right\} \)に対し
\[ \frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}} \] となる。
(2)
奇数階(要素数は偶数)の収束子は減少列となる。すなわち、任意の\(k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor \right\} \)に対し
\[ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}} \] となる。
(3)
奇数階の収束子は常に偶数階の収束子より大きい。すなわち、任意の\(m\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \right\} ,k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor \right\} \)に対し
\[ \frac{p_{2m}}{q_{2m}}<\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \] となる。
収束子を\(\frac{p_{n}}{q_{n}}\)とすると、
\[ \begin{cases} p_{-1}=1\\ p_{0}=a_{0}\\ p_{k}=a_{k}p_{k-1}+b_{k-1}p_{k-2} & k\in\mathbb{N} \end{cases} \] \[ \begin{cases} q_{-1}=0\\ q_{0}=1\\ q_{k}=a_{k}q_{k-1}+b_{k-1}q_{k-2} & k\in\mathbb{N} \end{cases} \] となり、両辺に\(q_{k-2}\)と\(p_{k-2}\)を掛けると、\(k\in\mathbb{N}+1\)のとき、
\[ \begin{cases} p_{k}q_{k-2}=a_{k}p_{k-1}q_{k-2}+b_{k-1}p_{k-2}q_{k-2}\\ p_{k-2}q_{k}=a_{k}p_{k-2}q_{k-1}+b_{k-1}p_{k-2}q_{k-2} \end{cases} \] となる。
辺々引くと、
\begin{align*} p_{k}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k} & =a_{k}\left(p_{k-1}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k-1}\right)\\ & =a_{k}q_{k-2}q_{k-1}\left(\frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}-\frac{p_{k-2}}{q_{k-2}}\right)\\ & =a_{k}q_{k-2}q_{k-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{q_{k-1}q_{k-2}}\prod_{j=0}^{k-2}b_{j}\cmt{\frac{p_{n}}{q_{n}}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{q_{n}q_{n-1}}\prod_{k=0}^{n-1}b_{k}}\\ & =\left(-1\right)^{k}a_{k}\prod_{j=0}^{k-2}b_{j} \end{align*} となるので、両辺\(q_{k-2}q_{k}\)で割ると
\begin{align*} \frac{p_{k}}{q_{k}}-\frac{p_{k-2}}{q_{k-2}} & =\frac{\left(-1\right)^{k}a_{k}}{q_{k-2}q_{k}}\prod_{j=0}^{k-2}b_{j}\\ & <0 \end{align*} となる。
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<a_{n}\land\forall m\in\mathbb{N}_{0},0<b_{m}\)より、\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<q_{n}\)なので\(n\rightarrow2n,n\rightarrow2n+1\)とすると、\(n\in\mathbb{N}\)のとき
\begin{align*} & \begin{cases} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}-\frac{p_{2k-2}}{q_{2k-2}}>0\\ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}-\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}<0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}>\frac{p_{2k-2}}{q_{2k-2}}\\ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}<\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}} \end{cases} \end{align*} となる。
これより、\(k\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\[ \frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}} \] \[ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}} \] となる。
また、\(k\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\begin{align*} \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}-\frac{p_{2k}}{q_{2k}} & =\frac{1}{q_{2k}q_{2k-1}}\prod_{j=0}^{2k-1}b_{j}\\ & =\frac{1}{q_{2k}q_{2k-1}}\prod_{j=0}^{2k-1}b_{j}\\ & >0 \end{align*} となるので、
\[ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k}}{q_{2k}} \] となる。
これより、\(m\leq k\)のとき、
\begin{align*} \frac{p_{2m}}{q_{2m}} & \leq\frac{p_{2k}}{q_{2k}}\\ & <\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \end{align*} \(k<m\)のとき、
\begin{align*} \frac{p_{2m}}{q_{2m}} & <\frac{p_{2m+1}}{q_{2m+1}}\\ & <\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \end{align*} となるのでこれより、任意の\(m,k\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\[ \frac{p_{2m}}{q_{2m}}<\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \] となる。
これらより、任意の\(m,k\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\[ \begin{cases} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}\\ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}}\\ \frac{p_{2m}}{q_{2m}}<\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \end{cases} \] が成り立つので題意は成り立つ。
\[ \begin{cases} p_{-1}=1\\ p_{0}=a_{0}\\ p_{k}=a_{k}p_{k-1}+b_{k-1}p_{k-2} & k\in\mathbb{N} \end{cases} \] \[ \begin{cases} q_{-1}=0\\ q_{0}=1\\ q_{k}=a_{k}q_{k-1}+b_{k-1}q_{k-2} & k\in\mathbb{N} \end{cases} \] となり、両辺に\(q_{k-2}\)と\(p_{k-2}\)を掛けると、\(k\in\mathbb{N}+1\)のとき、
\[ \begin{cases} p_{k}q_{k-2}=a_{k}p_{k-1}q_{k-2}+b_{k-1}p_{k-2}q_{k-2}\\ p_{k-2}q_{k}=a_{k}p_{k-2}q_{k-1}+b_{k-1}p_{k-2}q_{k-2} \end{cases} \] となる。
辺々引くと、
\begin{align*} p_{k}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k} & =a_{k}\left(p_{k-1}q_{k-2}-p_{k-2}q_{k-1}\right)\\ & =a_{k}q_{k-2}q_{k-1}\left(\frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}-\frac{p_{k-2}}{q_{k-2}}\right)\\ & =a_{k}q_{k-2}q_{k-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{q_{k-1}q_{k-2}}\prod_{j=0}^{k-2}b_{j}\cmt{\frac{p_{n}}{q_{n}}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{q_{n}q_{n-1}}\prod_{k=0}^{n-1}b_{k}}\\ & =\left(-1\right)^{k}a_{k}\prod_{j=0}^{k-2}b_{j} \end{align*} となるので、両辺\(q_{k-2}q_{k}\)で割ると
\begin{align*} \frac{p_{k}}{q_{k}}-\frac{p_{k-2}}{q_{k-2}} & =\frac{\left(-1\right)^{k}a_{k}}{q_{k-2}q_{k}}\prod_{j=0}^{k-2}b_{j}\\ & <0 \end{align*} となる。
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<a_{n}\land\forall m\in\mathbb{N}_{0},0<b_{m}\)より、\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<q_{n}\)なので\(n\rightarrow2n,n\rightarrow2n+1\)とすると、\(n\in\mathbb{N}\)のとき
\begin{align*} & \begin{cases} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}-\frac{p_{2k-2}}{q_{2k-2}}>0\\ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}-\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}<0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}>\frac{p_{2k-2}}{q_{2k-2}}\\ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}<\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}} \end{cases} \end{align*} となる。
これより、\(k\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\[ \frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}} \] \[ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}} \] となる。
また、\(k\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\begin{align*} \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}-\frac{p_{2k}}{q_{2k}} & =\frac{1}{q_{2k}q_{2k-1}}\prod_{j=0}^{2k-1}b_{j}\\ & =\frac{1}{q_{2k}q_{2k-1}}\prod_{j=0}^{2k-1}b_{j}\\ & >0 \end{align*} となるので、
\[ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k}}{q_{2k}} \] となる。
これより、\(m\leq k\)のとき、
\begin{align*} \frac{p_{2m}}{q_{2m}} & \leq\frac{p_{2k}}{q_{2k}}\\ & <\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \end{align*} \(k<m\)のとき、
\begin{align*} \frac{p_{2m}}{q_{2m}} & <\frac{p_{2m+1}}{q_{2m+1}}\\ & <\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \end{align*} となるのでこれより、任意の\(m,k\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\[ \frac{p_{2m}}{q_{2m}}<\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \] となる。
これらより、任意の\(m,k\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\[ \begin{cases} \frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}\\ \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}}\\ \frac{p_{2m}}{q_{2m}}<\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}} \end{cases} \] が成り立つので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 連分数の収束子の奇偶性 |
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無限連分数の収束条件
\[
\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty
\]
連分数と最大公約数
\[
\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1
\]
(*)簡単な連分数展開
\[
\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)
\]
連分数の性質
\[
\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]
\]