(1)

\begin{align*} H_{n}^{\left(1\right)} & =\sum_{k=1}^{n}H_{k}^{\left(0\right)}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\\ & =H_{n} \end{align*}

(2)

\(r\in\mathbb{N}\)のとき、
\begin{align*} H_{0}^{\left(r\right)} & =\sum_{k=1}^{0}H_{k}^{\left(r-1\right)}\\ & =0 \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

\(r\in\mathbb{N}\)のとき、
\begin{align*} H_{1}^{\left(r\right)} & =\sum_{k=1}^{1}H_{k}^{\left(r-1\right)}\\ & =H_{1}^{\left(r-1\right)}\\ & =H_{1}^{\left(0\right)}+\sum_{k=1}^{r}\left(H_{1}^{\left(k\right)}-H_{1}^{\left(k-1\right)}\right)\\ & =H_{1}^{\left(0\right)}\\ & =1 \end{align*} となり、\(r=0\)のときは
\begin{align*} H_{1}^{\left(0\right)} & =\frac{1}{1}\\ & =1 \end{align*} なので、\(r\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、\(H_{1}^{\left(0\right)}=1\)となる。
従って与式は成り立つ。