連続で出来る部分分数分解
\(n\in\mathbb{Z}\)のとき以下のように部分分数分解又は展開が出来る。
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
\[ \frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+1)^{k}}\right) \]
\[
\frac{1}{x(x+a)^{n}}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{x(x+a)^{n-1}}-\frac{1}{(x+a)^{n}}\right)
\]
これより、
\begin{align*} \frac{1}{x(x+a)^{n}} & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{a^{k}}{x(x+a)^{k}}-\frac{a^{k-1}}{x(x+a)^{k-1}}\right\} \\ & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{a^{k-1}}{(x+a)^{k}}\right)\\ & =\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+a)^{k}}\right) \end{align*}
\begin{align*} \frac{1}{x(x+a)^{n}} & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ \frac{a^{k}}{x(x+a)^{k}}-\frac{a^{k-1}}{x(x+a)^{k-1}}\right\} \\ & =\frac{1}{a^{n}x}+\frac{1}{a^{n}}\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{a^{k-1}}{(x+a)^{k}}\right)\\ & =\frac{1}{a^{n}x}-\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a^{n-k+1}(x+a)^{k}}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 連続で出来る部分分数分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/w1ww4359/ |
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『x tan(x)とx tanh(x)の積分』を更新しました。
分母に総和がある数の総和
\[
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?
\]
櫛型関数の性質
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right)
\]
ベータ関数の逆数を含む総和
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=?
\]