1-1+1-1+…と続く総和
1-1+1-1+…と続く総和
\(1-1+1-1+\cdots\)と続く総和の第\(n\)項は、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} \] となる。
\(1-1+1-1+\cdots\)と続く総和の第\(n\)項は、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} \] となる。
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1} & =\begin{cases}
0 & n=2m\\
1 & n=2m+1
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
\frac{1}{2}-\frac{1}{2} & n=2m\\
\frac{1}{2}+\frac{1}{2} & n=2m+1
\end{cases}\\
& =\begin{cases}
\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} & n=2m\\
\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} & n=2m+1
\end{cases}\\
& =\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 1-1+1-1+…と続く総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ut26ke1r/ |
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1のn乗根のべき乗の総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{\;k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)}
\]
始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
\[
\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}=\frac{b-a+1}{2}
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)
\]