(0)

全てで\(3^{n}\)通りの出し方がある。
あいこになるには3つ(グーチョキパー)のうち1種類だけ出るか3種類でるかである。
1種類だけでるときの場合の数は3つの中から1つを選び、\(n\)人を1つの区別できるグループに空グループなしで分ければいい。
3種類全てでるときの場合の数は3つの中から3つを選び、\(n\)人を3つの区別できるグループに空グループなしで分ければいい。
これより、
\begin{align*} P_{n} & =\frac{1}{3^{n}}\left\{ C\left(3,1\right)1!S_{2}\left(n,1\right)+C\left(3,3\right)3!S_{2}\left(n,3\right)\right\} \\ & =\frac{1}{3^{n}}\left\{ C\left(3,1\right)1!\frac{1}{1!}\sum_{k=1}^{1}\left(-1\right)^{1-k}C\left(1,k\right)k^{n}+C\left(3,3\right)3!\frac{1}{3!}\sum_{k=1}^{3}\left(-1\right)^{3-k}C\left(3,k\right)k^{n}\right\} \\ & =\frac{1}{3^{n}}\left\{ 3\sum_{k=1}^{1}\left(-1\right)^{1-k}C\left(1,k\right)k^{n}+\sum_{k=1}^{3}\left(-1\right)^{3-k}C\left(3,k\right)k^{n}\right\} \\ & =\frac{1}{3^{n}}\left\{ 3C\left(1,1\right)1^{n}+\left(-1\right)^{3-1}C\left(3,1\right)1^{n}+\left(-1\right)^{3-2}C\left(3,2\right)2^{n}+\left(-1\right)^{3-3}C\left(3,3\right)3^{n}\right\} \\ & =\frac{1}{3^{n}}\left\{ 3+3-3\cdot2^{n}+3^{n}\right\} \\ & =1-\frac{2^{n}-2}{3^{n-1}} \end{align*} となる。

(0)-2

あいこにならないためには3つ(グー・チョキ・パー)の中から2つが出るときである。
3つの中から2つ選び\(n\)人を2つの区別の出来るグループに空グループなしで分ければいいので余事象より、
\begin{align*} P_{n} & =1-\frac{C\left(3,2\right)2!S_{2}\left(n,2\right)}{3^{n}}\\ & =1-\frac{1}{3^{n}}\left\{ \frac{3!}{2!1!}2!\frac{1}{2!}\sum_{k=1}^{2}\left(-1\right)^{2-k}C\left(2,k\right)k^{n}\right\} \\ & =1-\frac{1}{3^{n}}\left\{ 3\left(-C\left(2,1\right)1^{n}+C\left(2,2\right)2^{n}\right)\right\} \\ & =1-\frac{2^{n}-2}{3^{n-1}} \end{align*} となる。