[2023年東工大数学第1問]積分の整数部分

\(0\leq x\leq2023\)では、
\[ \frac{2}{x+e^{x}}<\frac{2}{e^{x}} \] となるので、
\begin{align*} \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx & <\int_{0}^{2023}\frac{2}{e^{x}}dx\\ & =2\int_{0}^{2023}e^{-x}dx\\ & =-2\left[e^{-x}\right]_{0}^{2023}\\ & =-2\left(e^{-2023}-1\right)\\ & =2-2e^{-2023}\\ & <2 \end{align*} となる。
また、\(0\leq x\leq2023\)では、
\begin{align*} 1+x & <\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =e^{x} \end{align*} であるので、
\[ x<e^{x}-1 \] となる。
これより、
\begin{align*} \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx & >\int_{0}^{2023}\frac{2}{\left(e^{x}-1\right)+e^{x}}dx\\ & =\int_{0}^{2023}\frac{2}{\left(e^{x}-1\right)+e^{x}}dx\\ & =\int_{0}^{2023}\frac{2}{2e^{x}-1}dx\\ & =2\int_{0}^{2023}\frac{e^{-x}}{2-e^{-x}}dx\\ & =2\int_{0}^{2023}\frac{\left(e^{-x}\right)'}{e^{-x}-2}dx\\ & =2\left[\log\left|e^{-x}-2\right|\right]_{0}^{2023}\\ & =2\left(\log\left|e^{-2023}-2\right|-\log\left|1-2\right|\right)\\ & =2\log\left(2-e^{-2023}\right)\\ & =\log\left(2-e^{-2023}\right)^{2}\\ & =\log\left(4-4e^{-2023}+e^{-4046}\right)\\ & >\log e\\ & =1 \end{align*} となる。
これらより、
\[ 1<\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx<2 \] となるので\(\int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx\)の整数部分は1となる。