無限補有限位相の連結性・弧状連結性
無限補有限位相の連結性・弧状連結性
無限集合での補有限位相の連結・弧状連結は次のようになる。
無限集合での補有限位相の連結・弧状連結は次のようになる。
(1)
無限(可算無限または非可算無限)集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は連結になる。(2)
可算無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は弧状連結にならない。(3)
非可算無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は弧状連結になる。実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)は連結で弧状連結ですが、\(\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} ,\mathcal{O}_{n}\right)\)は連結でもなく弧状連結でもありません。
しかし、補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right),\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} ,\mathcal{O}_{c}\right)\)はどちらも連結で弧状連結となります。
しかし、補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right),\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} ,\mathcal{O}_{c}\right)\)はどちらも連結で弧状連結となります。
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有限集合での補有限位相は有限離散位相となるので連結でも弧状連結でもありません。自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{N},\mathcal{O}_{c}\right)\)は可算無限集合なので、連結ですが弧状連結ではありません。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は非可算無限集合なので連結で弧状連結となります。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)の補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は非可算無限集合なので連結で弧状連結となります。
(1)
\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)が非連結であると仮定する。非連結なので、ある部分集合\(A\subseteq X\)が存在し開集合かつ閉集合にならなければいけないが、開集合になるためには\(\left|A^{c}\right|<\infty\)でなければいけなく、閉集合になるためには\(\left|A\right|<\infty\)とならなければいけないので、\(\left|X\right|=\left|A\cup A^{c}\right|=\left|A\right|+\left|A^{c}\right|<\infty\)となり無限集合でないので矛盾。
従って、非連結であるという仮定が間違いで背理法より連結となる。
(2)
弧状連結になるには連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在しなければいけない。しかし、\(\left|\left[0,1\right]\right|=\aleph_{1},\left|X\right|=\aleph_{0}\)なので、ある\(x\in X\)が存在し\(\left|f^{\bullet}\left(x\right)\right|\geq\aleph_{0}\)となるので閉集合\(\left\{ x\right\} \)の逆像は閉集合にならない。
従って連続写像が存在しないので弧状連結にならない。
(3)
任意の\(a,b\)を選ぶ。\(a=b\)のときは\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,t\mapsto f\left(t\right)=a=b\)とすれば連続写像となる。
\(a\ne b\)のときは\(\left|\left[0,1\right]\right|=\aleph_{1},\left|X\right|\geq\aleph_{1}\)なので、単射となる写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)が存在する。
ここで\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)の閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{c}\)とする。
任意の\(F_{c}\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F_{c}\)は有限集合で\(f\)は単射なので逆像\(f^{\bullet}\left(F_{c}\right)\)は有限個の1点集合の和集合なので閉集合となり\(f\)は連続写像となる。
これらより、\(a=b\)のときも\(a\ne b\)のときも\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)となる連続写像が存在するので弧状連結となる。
ページ情報
タイトル | 無限補有限位相の連結性・弧状連結性 |
URL | https://www.nomuramath.com/qku711yb/ |
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無限補有限位相の分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
補有限位相はT1空間となる一番弱い位相
実数の補有限位相は弧状連結・連結
実数では補有限位相は通常位相より弱い
\[
\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}
\]