連分数の定義
分母に分数が含まれている分数を連分数といい、分子が全て1の場合は単純連分数や正則連分数というが、連分数のみでも単純連分数を示すことが多い。
次のようなものが連分数であり、
\[ a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}} \] ここで、通常は\(a_{0}\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},a_{n}\in\mathbb{N}\)とする。
これを
\[ \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}} \] と定める
また、
\[ a=a_{0}+\frac{b_{0}}{a_{1}+\frac{b_{1}}{a_{2}+\frac{b_{2}}{a_{3}+\cdots}}} \] を
\[ a=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\left(a_{2},b_{2}\right),\left(a_{3},b_{3}\right),\cdots\right] \] と定める。
これは有限なときは、
\[ a=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),a_{2}\right] \] のようになり、最後は\(\left(a_{2},b_{2}\right)\)とはならない。
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},b_{n}=r\)のとき、
\[ a=a_{0}+\frac{r}{a_{1}+\frac{r}{a_{2}+\frac{r}{a_{3}+\cdots}}} \] となり、これを
\[ a=\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]_{r} \] と定める。
明らかに
\[ \left[\left(a_{0},r\right);\left(a_{1},r\right),\left(a_{2},r\right),\left(a_{3},r\right),\cdots\right]=\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]_{r} \] \[ \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]_{1}=\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right] \] が成り立つ。