多重対数関数の定義
多重対数関数
多重対数関数は以下で定義される。
\[ Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}} \]
多重対数関数は以下で定義される。
\[ Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}} \]
ページ情報
| タイトル | 多重対数関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/n813z3go/ |
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多重対数関数同士の積の積分
\[
\int\Li_{0}\left(z\right)\Li_{0}\left(z\right)dz=\frac{1}{1-z}+z-2\Li_{1}\left(z\right)+C
\]
逆数の多重対数関数
\[
\Li_{n}\left(\frac{1}{z}\right)=\left(-1\right)^{n+1}\Li_{n}\left(z\right)+\left(1+\left(-1\right)^{n}\right)\zeta\left(n\right)+\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor }\left\{ 2\zeta\left(2\left(k+1\right)\right)\frac{\Log^{n-2\left(k+1\right)}z}{\left(n-2\left(k+1\right)\right)!}\right\} +\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n}z}{n!}+\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n-1}z}{\left(n-1\right)!}\left(\Log\left(1-z\right)-\Log\left(z-1\right)\right)
\]
多重対数関数の漸化式
\[
Li_{s+1}'(z)=\frac{Li_{s}(z)}{z}
\]
多重対数関数の基本的性質
\[
\Li_{1}(z)=-\log(1-z)
\]