[2025年防衛医科大学校医学科・数学問V]
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\(\frac{6^{44}}{9}\)の上2桁を求めよ。
ただし、1から20までの素数の常用対数は
\begin{align*} \log_{10}2 & =0.3010\\ \log_{10}3 & =0.4771\\ \log_{10}5 & =0.6990\\ \log_{10}7 & =0.8451\\ \log_{10}11 & =1.0414\\ \log_{10}13 & =1.1139\\ \log_{10}17 & =1.2304\\ \log_{10}19 & =1.2788 \end{align*} とする。
\(\frac{6^{44}}{9}\)の上2桁を求めよ。
ただし、1から20までの素数の常用対数は
\begin{align*} \log_{10}2 & =0.3010\\ \log_{10}3 & =0.4771\\ \log_{10}5 & =0.6990\\ \log_{10}7 & =0.8451\\ \log_{10}11 & =1.0414\\ \log_{10}13 & =1.1139\\ \log_{10}17 & =1.2304\\ \log_{10}19 & =1.2788 \end{align*} とする。
\(\frac{6^{44}}{9}\)の常用対数をとると、
\begin{align*} \log_{10}\frac{6^{44}}{9} & =\log_{10}6^{44}-\log_{10}9\\ & =44\log_{10}6-\log_{10}9\\ & =44\log_{10}\left(2\cdot3\right)-\log_{10}3^{2}\\ & =44\left(\log_{10}2+\log_{10}3\right)-2\log_{10}3\\ & \fallingdotseq44\left(0.3010+0.4771\right)-2\cdot0.4771\\ & =44\cdot0.7781-2\cdot0.4771\\ & =32.2364-0.9542\\ & =32.2822 \end{align*} となるので、
\begin{align*} \frac{6^{44}}{9} & \fallingdotseq10^{32.2822}\\ & =10^{0.2822}\cdot10^{32} \end{align*} となる。
ここで、
\begin{align*} \log_{10}1.9 & =\log_{10}\frac{19}{10}\\ & =\log_{10}19-\log_{10}10\\ & \fallingdotseq1.2788-1\\ & =0.2788 \end{align*} \begin{align*} \log_{10}2.0 & \fallingdotseq0.3010 \end{align*} となるので、
\[ 1.9\fallingdotseq10^{0.2788}<10^{0.2822}<10^{0.3010}\fallingdotseq2.0 \] となる。
これより、
\[ 1.9\cdot10^{32}<0^{0.2822}\cdot10^{32}\fallingdotseq\frac{6^{44}}{9}<2.0\cdot10^{32} \] となるので、上2桁は19となる。
\begin{align*} \log_{10}\frac{6^{44}}{9} & =\log_{10}6^{44}-\log_{10}9\\ & =44\log_{10}6-\log_{10}9\\ & =44\log_{10}\left(2\cdot3\right)-\log_{10}3^{2}\\ & =44\left(\log_{10}2+\log_{10}3\right)-2\log_{10}3\\ & \fallingdotseq44\left(0.3010+0.4771\right)-2\cdot0.4771\\ & =44\cdot0.7781-2\cdot0.4771\\ & =32.2364-0.9542\\ & =32.2822 \end{align*} となるので、
\begin{align*} \frac{6^{44}}{9} & \fallingdotseq10^{32.2822}\\ & =10^{0.2822}\cdot10^{32} \end{align*} となる。
ここで、
\begin{align*} \log_{10}1.9 & =\log_{10}\frac{19}{10}\\ & =\log_{10}19-\log_{10}10\\ & \fallingdotseq1.2788-1\\ & =0.2788 \end{align*} \begin{align*} \log_{10}2.0 & \fallingdotseq0.3010 \end{align*} となるので、
\[ 1.9\fallingdotseq10^{0.2788}<10^{0.2822}<10^{0.3010}\fallingdotseq2.0 \] となる。
これより、
\[ 1.9\cdot10^{32}<0^{0.2822}\cdot10^{32}\fallingdotseq\frac{6^{44}}{9}<2.0\cdot10^{32} \] となるので、上2桁は19となる。
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| タイトル | [2025年防衛医科大学校医学科・数学問V] |
| URL | https://www.nomuramath.com/l20xiuul/ |
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