調和数・一般化調和数の乗法公式
調和数・一般化調和数の乗法公式
調和数\(H_{z}\)・一般化調和数\(H_{z,m}\)について次の乗法公式が成り立つ。
\[ H_{nz}=\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n}} \]
\[ H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m} \]
調和数\(H_{z}\)・一般化調和数\(H_{z,m}\)について次の乗法公式が成り立つ。
(1)調和数の乗法公式
\(n\in\mathbb{N}\)とする。\[ H_{nz}=\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n}} \]
(2)一般化調和数の乗法公式
\(n\in\mathbb{N}\land m\in\mathbb{N}\setminus\left\{ 1\right\} \)とする。\[ H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m} \]
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\(\zeta\left(s\right)\)はリーマン・ゼータ関数(2)で\(m\rightarrow1\)とすると、
\begin{align*} \lim_{m\rightarrow1}H_{nz,m} & =\lim_{m\rightarrow1}\left(\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow1}\left(\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\left(\frac{1}{m-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(m-1\right)^{k}\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow1}\left(\frac{n^{m-1}-1}{m-1}+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\\ & =\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n}}\\ & =H_{nz} \end{align*} となる。
\begin{align*} \lim_{m\rightarrow1}H_{nz,m} & =\lim_{m\rightarrow1}\left(\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow1}\left(\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\left(\frac{1}{m-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(m-1\right)^{k}\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow1}\left(\frac{n^{m-1}-1}{m-1}+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\\ & =\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n}}\\ & =H_{nz} \end{align*} となる。
(1)
\begin{align*} H_{nz} & =\gamma+\psi\left(n\left(z+1\right)\right)\\ & =\gamma+\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\psi\left(z+1+\frac{k}{n}\right)\\ & =\gamma+\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(-\gamma+H_{z+\frac{k}{n}}\right)\\ & =\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n}} \end{align*}(2)
\begin{align*} H_{nz,m} & =\zeta\left(m\right)-\left(-1\right)^{m}\frac{\psi^{\left(m-1\right)}\left(n\left(z+1\right)\right)}{\left(m-1\right)!}\\ & =\zeta\left(m\right)-\left(-1\right)^{m}\frac{1}{\left(m-1\right)!}\left\{ \delta_{0,m-1}\log n+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m-1\right)}\left(z+1+\frac{k}{n}\right)\right\} \\ & =\zeta\left(m\right)-\left(-1\right)^{m}\frac{1}{\left(m-1\right)!}\left\{ \delta_{0,m-1}\log n+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{m}\left(m-1\right)!\left(\zeta\left(m\right)-H_{z+\frac{k}{n},m}\right)\right\} \\ & =\zeta\left(m\right)-\left\{ \delta_{0,m-1}\left(-1\right)^{m}\frac{1}{\left(m-1\right)!}\log n+\frac{1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)-\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\right\} \\ & =\delta_{1,m}\log n+\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}\\ & =\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 調和数・一般化調和数の乗法公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hlmr4wom/ |
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一般化調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)
\]
調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2}}=2-2\log2
\]
調和数・一般化調和数を含む総和
\[
\sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1}
\]
調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[
\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)
\]