(1)

\begin{align*} H_{n} & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}x^{k-1}dx\\ & =\int_{0}^{1}\frac{1-x^{n}}{1-x}dx \end{align*} \begin{align*} H_{n} & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\sum_{k=n+1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+n}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}\right)\\ & =n\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\left(k+n\right)} \end{align*} これより、調和数を非負整数以外に拡張できる。

(2)-2

片方のみ示す。
(1)より、
\begin{align*} H_{n} & =\int_{0}^{1}\frac{1-x^{n}}{1-x}dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\left(1-x^{n}\right)x^{k}dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\left(x^{k}-x^{n+k}\right)dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{1}{k+1}x^{k+1}-\frac{1}{n+k+1}x^{n+k+1}\right]_{0}^{1}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{n+k+1}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+k}\right)\\ & =n\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k\left(n+k\right)}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} H_{n,m} & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}+\sum_{k=n+1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^{m}}-\frac{1}{k^{m}}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{m}}-\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^{m}}\\ & =\zeta\left(m\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k+n\right)^{m}}\\ & =\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,n+1\right) \end{align*} これより、調和数を非負整数以外に拡張できる。