指数関数の多重対数関数の積分
指数関数の多重対数関数の積分
指数関数の多重対数関数を積分すると次のようになる。
指数関数の多重対数関数を積分すると次のようになる。
(1)
\[ \int\Li_{n}\left(e^{z}\right)dz=\Li_{n+1}\left(e^{z}\right)+C \](2)
\[ \int\Li_{n}\left(\alpha e^{\beta z}\right)dz=\frac{1}{\beta}\Li_{n+1}\left(\alpha e^{\beta z}\right)+C \]-
\(\Li_{n}\left(z\right)\)は多重対数関数(1)
\begin{align*} \int\Li_{n}\left(e^{z}\right)dz & =\int\frac{\Li_{n}\left(\xi\right)}{\xi}d\xi\cmt{e^{z}=\xi}\\ & =\Li_{n+1}\left(\xi\right)+C\\ & =\Li_{n+1}\left(e^{z}\right)+C \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} \int\Li_{n}\left(\alpha e^{\beta z}\right)dz & =\frac{1}{\beta}\int\Li_{n}\left(e^{\xi}\right)d\xi\cmt{\alpha e^{\beta z}=e^{\xi}}\\ & =\frac{1}{\beta}\Li_{n+1}\left(e^{\xi}\right)+C\\ & =\frac{1}{\beta}\Li_{n+1}\left(\alpha e^{\beta z}\right)+C \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 指数関数の多重対数関数の積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d0nmz9wa/ |
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多重対数関数の関係
\[
\Li_{n}\left(z\right)+\Li_{n}\left(-z\right)=\frac{1}{2^{n-1}}\Li_{n}\left(z^{2}\right)
\]
多重対数関数同士の積の積分
\[
\int\Li_{0}\left(z\right)\Li_{0}\left(z\right)dz=\frac{1}{1-z}+z-2\Li_{1}\left(z\right)+C
\]
多重対数関数の定義
\[
Li_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{s}}
\]
多重対数関数を含む積分
\[
\int\Li_{n}\left(z\right)dz=\sum_{k=0}^{n-2}\left\{ \left(-1\right)^{n-k}z\Li_{k+2}\left(z\right)\right\} -\left(-1\right)^{n}\left(z-\left(1-z\right)\Li_{1}\left(z\right)\right)+C
\]