(1)

ある整数\(p_{n}',q_{n}'\)が存在し、\(p_{n}=\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)p_{n}',q_{n}=\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)q_{n}'\)となるので、隣接関係式
\[ \frac{p_{n}}{q_{n}}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\frac{\left(-1\right)^{n+1}r^{n}}{q_{n}q_{n-1}} \] より、
\begin{align*} r^{n} & =\left(-1\right)^{n+1}\left(p_{n}q_{n-1}-p_{n-1}q_{n}\right)\\ & =\left(-1\right)^{n+1}\left(\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)p_{n}'q_{n-1}-p_{n-1}\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)q_{n}'\right)\\ & =\left(-1\right)^{n+1}\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)\left(p_{n}'q_{n-1}-p_{n-1}q_{n}'\right) \end{align*} となるので\(\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)\mid r^{n}\)となる。

(2)

\(p_{n}\)の漸化式より、
\begin{align*} p_{n} & =a_{n}p_{n-1}+rp_{n-2}\\ & \overset{r}{\equiv}a_{n}p_{n-1}\\ & \overset{r}{\equiv}a_{n}a_{n-1}p_{n-2}\\ & \overset{r}{\equiv}p_{0}\prod_{k=1}^{n}a_{k}\\ & =a_{0}\prod_{k=1}^{n}a_{k}\\ & =\prod_{k=0}^{n}a_{k} \end{align*} となるので、\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},\gcd\left(a_{n},r\right)=1\)より、\(\gcd\left(p_{n},r\right)=\gcd\left(\prod_{k=0}^{n}a_{k},r\right)=1\)となる。
\(\gcd\left(q_{n},r\right)=1\)についても同様である。

(3)

\(\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)\ne1\)と仮定する。
このとき、\(\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)\)の素因数を\(x\ne1\)とすると、\(x\mid p_{n}\)であり\(\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)\mid r^{n}\)なので\(x\mid r^{n}\)となるので、\(x\mid r\)となる。
これより、\(x\)は\(p_{n},r\)の共通因数となるが、条件より\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},\gcd\left(a_{n},r\right)=1\)なので\(\gcd\left(p_{n},r\right)=1\)となり矛盾。
従って、仮定が間違いで背理法より\(\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1\)となる。