間違えずに極限を求められるかな
間違えずに極限を求められるかな
次の極限を求めよ。
\[ \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right)=? \]
次の極限を求めよ。
\[ \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right)=? \]
第2項だけにロピタルの定理を使うと、あとで消える項が最初に消えてしまって間違えます。
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right) & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{e^{-x}}{2x}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}\left(1-\frac{1}{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-x}}{x}\\ & =\infty \end{align*} これは間違いです。
極限は、
\[ \lim_{x\rightarrow0}\left(-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(-\frac{e^{-x}}{2x}\right) \] で合ってますが、極限の中身は
\[ -\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}=-\frac{e^{-x}}{2x} \] ではないからです。
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right) & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{e^{-x}}{2x}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}\left(1-\frac{1}{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{-x}}{x}\\ & =\infty \end{align*} これは間違いです。
極限は、
\[ \lim_{x\rightarrow0}\left(-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(-\frac{e^{-x}}{2x}\right) \] で合ってますが、極限の中身は
\[ -\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}=-\frac{e^{-x}}{2x} \] ではないからです。
(0)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right) & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{xe^{-x}-1+e^{-x}}{x^{2}}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\left(1-x\right)e^{-x}-e^{-x}}{2x}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{-xe^{-x}}{2x}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{-e^{-x}}{2}\right)\\ & =-\frac{1}{2} \end{align*}(0)-2
展開して求めると次のようになります。\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right) & =\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!}-\frac{1}{x^{2}}\left(1-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!}\right)\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{k!}+\frac{1}{x^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}}{k!}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{k!}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k-2}}{k!}\right)\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\left(-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{k!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k-1}}{\left(k+1\right)!}\right)\\ & =-\lim_{x\rightarrow0}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{\left(k+1\right)!}\right)\left(-x\right)^{k-1}\right)\\ & =-\lim_{x\rightarrow0}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{\left(k+1\right)!}\left(-x\right)^{k-1}\right)\\ & =-\lim_{x\rightarrow0}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{\left(k+1\right)!}\left(-x\right)^{k-1}\right)\\ & =-\lim_{x\rightarrow0}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+1}{\left(k+2\right)!}\left(-x\right)^{k}\right)\\ & =-\frac{1}{2} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 間違えずに極限を求められるかな |
| URL | https://www.nomuramath.com/cp8prj2e/ |
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階乗を和に直しましょう
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\left(3n\right)!}{\left(2n\right)!}}=?
\]