無限連分数の収束条件
無限連分数の収束条件
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<a_{n}\)とすると、無限連分数\(\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]\)が収束することと、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\)となることは同値である。
すなわち、
\[ \left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty \] である。
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<a_{n}\)とすると、無限連分数\(\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]\)が収束することと、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\)となることは同値である。
すなわち、
\[ \left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty \] である。
連分数\(\left[1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right]\)は\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty\)となるので収束する。
連分数\(\left[\frac{1}{1^{2}},\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{3^{2}},\cdots\right]\)は\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\zeta\left(2\right)=\frac{\pi^{2}}{6}<\infty\)となるので収束しない。
連分数\(\left[\frac{1}{2^{0}},\frac{1}{2^{1}},\frac{1}{2^{2}},\cdots\right]\)は\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2<\infty\)となるので収束しない。
連分数\(\left[\frac{1}{1^{2}},\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{3^{2}},\cdots\right]\)は\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\zeta\left(2\right)=\frac{\pi^{2}}{6}<\infty\)となるので収束しない。
連分数\(\left[\frac{1}{2^{0}},\frac{1}{2^{1}},\frac{1}{2^{2}},\cdots\right]\)は\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2<\infty\)となるので収束しない。
収束子を\(\frac{p_{n}}{q_{n}}\)とする。
連分数の和公式より、
\[ \frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}} \] となる。
ここで、\(p_{n},q_{n}\)は
\[ \begin{cases} p_{-1}=1\\ p_{0}=a_{0}\\ p_{n}=a_{n}p_{n-1}+b_{n-1}p_{n-2} & n\in\mathbb{N} \end{cases} \] \[ \begin{cases} q_{-1}=0\\ q_{0}=1\\ q_{n}=a_{n}q_{n-1}+b_{n-1}q_{n-2} & n\in\mathbb{N} \end{cases} \] である。
すなわち、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}<\infty\)であるとき、\(\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]\)は収束しないことを示す。
\[ \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}<\infty \] とする。
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<a_{n}\)なので\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\begin{align*} q_{n} & =a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}\\ & >q_{n-2} \end{align*} となるので、\(q_{n}>q_{n-1}\lor q_{n-1}>q_{n-2}\)が成り立つ。
何故なら、これが成り立たないとすると\(\lnot\left(q_{n}>q_{n-1}\lor q_{n-1}>q_{n-2}\right)\Leftrightarrow q_{n}<q_{n-1}\land q_{n-1}<q_{n-2}\)\(\Rightarrow q_{n}<q_{n-2}\)となるからである。
従って、\(q_{n}>q_{n-1}\)であれば、
\begin{align*} q_{n} & =a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}\\ & <a_{n}q_{n}+q_{n-2} \end{align*} となり、ある\(n_{0}\)が存在し\(n_{0}\leq n\)であれば、\(a_{n}<1\)であるので
\[ q_{n}<\frac{q_{n-2}}{1-a_{n}} \] となる。
また、\(q_{n-1}>q_{n-2}\)であれば、
\begin{align*} q_{n} & =a_{n}q_{n-1}q_{n-2}\\ & <a_{n}q_{n-1}+q_{n-1}\\ & =\left(a_{n}+1\right)q_{n-1}\\ & =\left(a_{n}+1\right)q_{n-1}\\ & =\frac{q_{n-1}}{1-a_{n}} \end{align*} となる。
これらより、\(n_{0}\leq n\)であれば\(m<n\)のときも
\[ q_{n}<\frac{q_{m}}{1-a_{n}} \] が成り立つ。
これより、\(n_{1}>n_{2}>\cdots>n_{s}\geq n_{0}\)として、\(n_{0}\leq n\rightarrow a_{n}<1\)なので、
\begin{align*} q_{n} & <\frac{q_{m}}{\left(1-a_{n_{1}}\right)\left(1-a_{n_{2}}\right)\cdots\left(1-a_{n_{s}}\right)}\\ & \leq\frac{q_{m}}{\prod_{n=n_{0}}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)}\\ & \leq\frac{\max\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{n_{0}-1}\right)}{\prod_{n=n_{0}}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)}\\ & <\infty \end{align*} となるので、
\[ q_{n}q_{n+1}<\infty \] となる。
従って
\begin{align*} \left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right] & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n}}{q_{n}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k-1}q_{k}}\right)\\ & =a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k-1}q_{k}} \end{align*} となり交代級数の項が0に収束しないので\(\left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right]\)は収束しない。
故に、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}<\infty\)であれば\(\left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right]\)は収束しない。
任意の\(k>2\) に対し、\(q_{k-2}<q_{k}\)より、\(1\leq k\rightarrow\min\left(q_{0},q_{1}\right)\leq q_{k}\)となるので、
\begin{align*} q_{k} & =a_{k}q_{k-1}+q_{k-2}\\ & \geq a_{k}\min\left(q_{0},q_{1}\right)+q_{k-2} \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} q_{2n} & =q_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(q_{2k}-q_{2\left(k-1\right)}\right)\\ & \geq q_{0}+\min\left(q_{0},q_{1}\right)\sum_{k=1}^{n}a_{2k} \end{align*} \begin{align*} q_{2n-1} & =q_{-1}+\sum_{k=1}^{n}\left(q_{2k-1}-q_{2\left(k-1\right)-1}\right)\\ & \geq q_{-1}+\min\left(q_{0},q_{1}\right)\sum_{k=1}^{n}a_{2k-1} \end{align*} となるので、
\begin{align*} q_{2n}+q_{2n-1} & \geq q_{0}+q_{-1}+\min\left(q_{0},q_{1}\right)\sum_{k=1}^{n}\left(a_{2k}+a_{2k-1}\right)\\ & =1+0+\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{2n}a_{k}\\ & \geq\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{2n}a_{k} \end{align*} となる。
同様に、
\[ q_{2n+1}+q_{2n}\geq\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{2n}a_{k} \] も成り立つ。
これらより、
\[ q_{n+1}+q_{n}\geq\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{n}a_{k} \] となる。
これより、\(q_{n},q_{n+1}\)のどちらかが\(\frac{\min\left(q_{1},q_{2}\right)}{2}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\)以上でどちらかは\(\min\left(q_{1},q_{2}\right)\)以上であるので、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}q_{n}q_{n+1} & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\min\left(q_{1},q_{2}\right)\frac{\min\left(q_{1},q_{2}\right)}{2}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & =\frac{\min^{2}\left(q_{1},q_{2}\right)}{2}\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\\ & =\infty \end{align*} となり、
\begin{align*} \left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right] & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n}}{q_{n}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{0}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k+1}q_{k}}\right)\\ & =a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k+1}q_{k}}\\ & <\infty \end{align*} となる。
最後は交代級数の各項が0に近づくとき収束することを使った。
従って、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\)であれば\(\left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\)となる。
連分数の和公式より、
\[ \frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}} \] となる。
ここで、\(p_{n},q_{n}\)は
\[ \begin{cases} p_{-1}=1\\ p_{0}=a_{0}\\ p_{n}=a_{n}p_{n-1}+b_{n-1}p_{n-2} & n\in\mathbb{N} \end{cases} \] \[ \begin{cases} q_{-1}=0\\ q_{0}=1\\ q_{n}=a_{n}q_{n-1}+b_{n-1}q_{n-2} & n\in\mathbb{N} \end{cases} \] である。
\(\Rightarrow\)
対偶で示す。すなわち、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}<\infty\)であるとき、\(\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]\)は収束しないことを示す。
\[ \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}<\infty \] とする。
\(\forall n\in\mathbb{N}_{0},0<a_{n}\)なので\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\begin{align*} q_{n} & =a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}\\ & >q_{n-2} \end{align*} となるので、\(q_{n}>q_{n-1}\lor q_{n-1}>q_{n-2}\)が成り立つ。
何故なら、これが成り立たないとすると\(\lnot\left(q_{n}>q_{n-1}\lor q_{n-1}>q_{n-2}\right)\Leftrightarrow q_{n}<q_{n-1}\land q_{n-1}<q_{n-2}\)\(\Rightarrow q_{n}<q_{n-2}\)となるからである。
従って、\(q_{n}>q_{n-1}\)であれば、
\begin{align*} q_{n} & =a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}\\ & <a_{n}q_{n}+q_{n-2} \end{align*} となり、ある\(n_{0}\)が存在し\(n_{0}\leq n\)であれば、\(a_{n}<1\)であるので
\[ q_{n}<\frac{q_{n-2}}{1-a_{n}} \] となる。
また、\(q_{n-1}>q_{n-2}\)であれば、
\begin{align*} q_{n} & =a_{n}q_{n-1}q_{n-2}\\ & <a_{n}q_{n-1}+q_{n-1}\\ & =\left(a_{n}+1\right)q_{n-1}\\ & =\left(a_{n}+1\right)q_{n-1}\\ & =\frac{q_{n-1}}{1-a_{n}} \end{align*} となる。
これらより、\(n_{0}\leq n\)であれば\(m<n\)のときも
\[ q_{n}<\frac{q_{m}}{1-a_{n}} \] が成り立つ。
これより、\(n_{1}>n_{2}>\cdots>n_{s}\geq n_{0}\)として、\(n_{0}\leq n\rightarrow a_{n}<1\)なので、
\begin{align*} q_{n} & <\frac{q_{m}}{\left(1-a_{n_{1}}\right)\left(1-a_{n_{2}}\right)\cdots\left(1-a_{n_{s}}\right)}\\ & \leq\frac{q_{m}}{\prod_{n=n_{0}}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)}\\ & \leq\frac{\max\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{n_{0}-1}\right)}{\prod_{n=n_{0}}^{\infty}\left(1-a_{n}\right)}\\ & <\infty \end{align*} となるので、
\[ q_{n}q_{n+1}<\infty \] となる。
従って
\begin{align*} \left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right] & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n}}{q_{n}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k-1}q_{k}}\right)\\ & =a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k-1}q_{k}} \end{align*} となり交代級数の項が0に収束しないので\(\left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right]\)は収束しない。
故に、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}<\infty\)であれば\(\left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right]\)は収束しない。
\(\Leftarrow\)
\[ \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty \] とする。任意の\(k>2\) に対し、\(q_{k-2}<q_{k}\)より、\(1\leq k\rightarrow\min\left(q_{0},q_{1}\right)\leq q_{k}\)となるので、
\begin{align*} q_{k} & =a_{k}q_{k-1}+q_{k-2}\\ & \geq a_{k}\min\left(q_{0},q_{1}\right)+q_{k-2} \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} q_{2n} & =q_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(q_{2k}-q_{2\left(k-1\right)}\right)\\ & \geq q_{0}+\min\left(q_{0},q_{1}\right)\sum_{k=1}^{n}a_{2k} \end{align*} \begin{align*} q_{2n-1} & =q_{-1}+\sum_{k=1}^{n}\left(q_{2k-1}-q_{2\left(k-1\right)-1}\right)\\ & \geq q_{-1}+\min\left(q_{0},q_{1}\right)\sum_{k=1}^{n}a_{2k-1} \end{align*} となるので、
\begin{align*} q_{2n}+q_{2n-1} & \geq q_{0}+q_{-1}+\min\left(q_{0},q_{1}\right)\sum_{k=1}^{n}\left(a_{2k}+a_{2k-1}\right)\\ & =1+0+\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{2n}a_{k}\\ & \geq\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{2n}a_{k} \end{align*} となる。
同様に、
\[ q_{2n+1}+q_{2n}\geq\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{2n}a_{k} \] も成り立つ。
これらより、
\[ q_{n+1}+q_{n}\geq\min\left(q_{1},q_{2}\right)\sum_{k=1}^{n}a_{k} \] となる。
これより、\(q_{n},q_{n+1}\)のどちらかが\(\frac{\min\left(q_{1},q_{2}\right)}{2}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\)以上でどちらかは\(\min\left(q_{1},q_{2}\right)\)以上であるので、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}q_{n}q_{n+1} & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\min\left(q_{1},q_{2}\right)\frac{\min\left(q_{1},q_{2}\right)}{2}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & =\frac{\min^{2}\left(q_{1},q_{2}\right)}{2}\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\\ & =\infty \end{align*} となり、
\begin{align*} \left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right] & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n}}{q_{n}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_{0}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k+1}q_{k}}\right)\\ & =a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k+1}q_{k}}\\ & <\infty \end{align*} となる。
最後は交代級数の各項が0に近づくとき収束することを使った。
従って、\(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty\)であれば\(\left[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\)となる。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 無限連分数の収束条件 |
| URL | https://www.nomuramath.com/b0icmt13/ |
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連分数と最大公約数
\[
\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1
\]
連分数の収束子と漸化式
\[
\frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j}
\]
連分数の定義
\[
\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}
\]
連分数の性質
\[
\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]
\]