(1)

\begin{align*} \left[x;x,x,\cdots\right]_{r} & =\left[x;\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}\right]_{r}\\ & =x+\frac{r}{\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}} \end{align*} より、両辺に\(\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}\)を掛けると、
\[ \left[x;x,x,\cdots\right]_{r}^{2}-x\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}-r=0 \] となるので、\(\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}\)について解くと、\(\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}=\frac{x\pm\sqrt{x^{2}+4r}}{2}\)となるが\(x<\left[x;x,x,\cdots\right]_{r}\)なので\(\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4r}\right)\)となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \sqrt{x} & =\left[\sqrt{x}\right]_{x-1}\\ & =\left[1+\sqrt{x}-1\right]_{x-1}\\ & =\left[1;\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\right]_{x-1}\\ & =\left[1;1+\sqrt{x}\right]_{x-1}\\ & =\left[1;2+\sqrt{x}-1\right]_{x-1}\\ & =\left[1;2,\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\right]_{x-1}\\ & =\left[1;2,1+\sqrt{x}\right]_{x-1} \end{align*} となるのでこれを繰り返すと、
\begin{align*} \sqrt{x} & =\left[1;1+\sqrt{x}\right]_{x-1}\\ & =\left[1;2,1+\sqrt{x}\right]_{x-1}\\ & =\left[1;2,2,1+\sqrt{x}\right]_{x-1}\\ & =\left[1;2,2,2,\cdots\right]_{x-1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

(2)より、
\begin{align*} \sqrt{3} & =\left[1;2,2,2,2,2\cdots\right]_{2}\\ & =\left[1;\frac{1}{2}2,2,\frac{1}{2}2,2,\frac{1}{2}2\cdots\right]\\ & =\left[1;1,2,1,2,1,2,\cdots\right] \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)-2

\begin{align*} \sqrt{3} & =1+\left(\sqrt{3}-1\right)\\ & =1+\frac{2}{1+\sqrt{3}}\\ & =1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}\\ & =1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}\\ & =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\sqrt{3}}}\\ & =1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\left(\sqrt{3}-1\right)}}\\ & =1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\left(\sqrt{3}-1\right)}}}} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \sqrt{3} & =\left[1;1,2,\sqrt{3}-1\right]\\ & =\left[1;1,1,2,1,2,\sqrt{3}-1\right]\\ & =\left[1;1,1,2,1,2,1,2,\cdots\right] \end{align*} となり与式が成り立つ。

(4)

黄金数\(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)は\(x^{2}-x-1=0\)の\(0<x\)となる解なので、
\begin{align*} x & =1+\frac{1}{x}\\ & =\left[1;x\right]\\ & =\left[1;\left[1;x\right]\right]\\ & =\left[1;1,x\right]\\ & =\left[1;1,1,x\right] \end{align*} となるので\(\left[1;1,1,\cdots\right]=\phi\)となる。

(5)

黄金数は\(\phi^{2}-\phi-1=0\)を満たすので
\begin{align*} \phi^{-1} & =\phi-1\\ & =\left[1;1,1,\cdots\right]-1\\ & =\left[0;1,1,\cdots\right] \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(6)

(1)より、
\begin{align*} 1+\sqrt{2} & =\frac{1}{2}\left(2+\sqrt{2^{2}+4}\right)\\ & =\left[2;2,2,\cdots\right] \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(7)

略