調和数の相反公式
調和数の相反公式
調和数\(H_{z}\)について次の相反公式が成り立つ。
\(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}\)とする。
\[ H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z} \]
調和数\(H_{z}\)について次の相反公式が成り立つ。
\(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}\)とする。
\[ H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z} \]
\begin{align*}
H_{1-z}-H_{z} & =-\gamma+\psi\left(2-z\right)-\left(-\gamma+\psi\left(1+z\right)\right)\\
& =\psi\left(2-z\right)-\psi\left(1+z\right)\\
& =\psi\left(1-z\right)+\frac{1}{1-z}-\psi\left(z\right)-\frac{1}{z}\\
& =\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 調和数の相反公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y925ewyd/ |
| SNSボタン |
調和数・一般化調和数の積分
\[
\int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C
\]
調和数・一般化調和数の定義
\[
H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}
\]
調和数・一般化調和数を含む総和
\[
\sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1}
\]
調和数・一般化調和数の乗法公式
\[
H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}
\]