分子が対数で分母が多項式の定積分
分子が対数で分母が多項式の定積分
次の定積分を求めよ。
\(n\in\mathbb{N}\setminus\left\{ 1\right\} \)とする。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=? \]
次の定積分を求めよ。
\(n\in\mathbb{N}\setminus\left\{ 1\right\} \)とする。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=? \]
この定積分が収束するための\(n\)の条件は\(1<\Re\left(n\right)\land\left(\Re\left(\left(-1\right)^{\frac{1}{n}}\right)\leq0\lor\left(-1\right)^{\frac{1}{n}}\notin\mathbb{R}\right)\)となります。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{t}}{x^{n}+1}dx\right]_{t=0}\\
& =\frac{1}{n}\left[\frac{d}{dt}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{t}{n}}}{y+1}y^{\frac{1}{n}-1}dy\right]_{t=0}\\
& =\frac{1}{n}\left[\frac{d}{dt}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{1+t}{n}-1}}{y+1}dy\right]_{t=0}\\
& =\frac{1}{n}\left[\frac{d}{dt}B\left(\frac{1+t}{n}-1+1,1-\left(\frac{1+t}{n}-1\right)-1\right)\right]_{t=0}\\
& =\frac{1}{n}\left[\frac{d}{dt}B\left(\frac{1+t}{n},1-\frac{1+t}{n}\right)\right]_{t=0}\\
& =\frac{1}{n}\left[\frac{d}{dt}\frac{\Gamma\left(\frac{1+t}{n}\right)\Gamma\left(1-\frac{1+t}{n}\right)}{\Gamma\left(\frac{1+t}{n}+1-\frac{1+t}{n}\right)}\right]_{t=0}\\
& =\frac{1}{n}\left[\frac{d}{dt}\Gamma\left(\frac{1+t}{n}\right)\Gamma\left(1-\frac{1+t}{n}\right)\right]_{t=0}\\
& =\frac{\pi}{n}\left[\frac{d}{dt}\sin^{-1}\left(\frac{1+t}{n}\pi\right)\right]_{t=0}\\
& =\frac{\pi}{n}\left[-\frac{\pi}{n}\sin^{-2}\left(\frac{1+t}{n}\pi\right)\cos\left(\frac{1+t}{n}\pi\right)\right]_{t=0}\\
& =-\frac{\pi^{2}}{n^{2}}\sin^{-2}\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分子が対数で分母が多項式の定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d0rvkli2/ |
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ガウス積分のような定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+e^{x^{2}}}dx=?
\]
床関数を含む積分です
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left\lfloor \tan x\right\rfloor }{\tan x}dx=?
\]
逆3角関数の積の積分
\[
\int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=?
\]
分母に双曲線関数で分子に3角関数の定積分
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{\cosh x}dx=?
\]