[2016年早稲田大学商学部・数学第1問]べき乗の余り

まず、\(2^{11}\)を2016で割った余りを計算しておく。
\begin{align*} 2^{11} & =2048\\ & \overset{2016}{\equiv}32\\ & =2^{5} \end{align*} これより、\(2^{11}\overset{2016}{\equiv}2^{5}\)となる。
\begin{align*} 2^{100} & =2\left(2^{11}\right)^{9}\\ & \overset{2016}{\equiv}2\cdot\left(2^{5}\right)^{9}\cmt{\because2^{11}\overset{2016}{\equiv}2^{5}}\\ & =2^{46}\\ & =2^{2}\left(2^{11}\right)^{4}\\ & \overset{2016}{\equiv}2^{2}\left(2^{5}\right)^{4}\cmt{\because2^{11}\overset{2016}{\equiv}2^{5}}\\ & =2^{22}\\ & =\left(2^{11}\right)^{2}\\ & \overset{2016}{\equiv}\left(2^{5}\right)^{2}\cmt{\because2^{11}\overset{2016}{\equiv}2^{5}}\\ & =2^{10}\\ & =1024 \end{align*}