[2025年京都大学・数学第2問]整数問題

\(9z^{2}=x^{6}+y^{4}\)より、\(x^{6}+y^{4}\)は3の倍数となる。
\(x\overset{3}{\equiv}0\)とすると、\(x^{6}\overset{3}{\equiv}0\)となり、\(x\overset{3}{\equiv}\pm1\)とすると、\(x^{6}\overset{3}{\equiv}1\)となる。
\(y\overset{3}{\equiv}0\)とすると、\(x^{4}\overset{3}{\equiv}0\)となり、\(y\overset{3}{\equiv}\pm1\)とすると、\(y^{4}\overset{3}{\equiv}1\)となる。
従って、\(x\overset{3}{\equiv}0\)かつ\(y\overset{3}{\equiv}0\)でないと\(x^{6}+y^{4}\)は3の倍数とならない。
これより、\(x,y\)は3の倍数となるので、\(x=3i,y=3j\)とおく。
そうすると、
\begin{align*} 9z^{2} & =x^{6}+y^{4}\\ & =\left(3i\right)^{6}+\left(3j\right)^{4}\\ & =3^{6}i^{6}+3^{4}j^{4} \end{align*} となるので両辺を9で割ると、
\[ z^{2}=3^{4}i^{6}+3^{2}j^{4} \] となる。
これより、\(z\)も3の倍数となるので、\(z=3k\)とおくと、
\begin{align*} 3^{4}i^{6}+3^{2}j^{4} & =z^{2}\\ & =3^{2}k^{2} \end{align*} となるので、両辺を9で割ると、
\[ 3^{2}i^{6}+j^{4}=k^{2}\mrk * \] となる。
これより、
\begin{align*} 9i^{6} & =k^{2}-j^{4}\\ & =\left(k-j^{2}\right)\left(k+j^{2}\right) \end{align*} となる。
ここで、\(i=1\)とすると、
\[ 9=\left(k-j^{2}\right)\left(k+j^{2}\right) \] となり、\(j\)は自然数なので\(k-j^{2}<k+j^{2}\)となるので、\(\left(k-j^{2},k+j^{2}\right)=\left(1,9\right)\)となる。
これより、\(\left(k,j^{2}\right)=\left(5,4\right)\)となるので\(\left(k,j\right)=\left(5,2\right)\)となる。
これより、\(\left(i,j,k\right)=\left(1,2,5\right)\)は\(9i^{6}=k^{2}-j^{4}\)を満たす。
このとき、\(\left(x,y,z\right)=\left(3i,3j,3k\right)=\left(3,6,15\right)\)となり、\(N=9z^{2}=9\cdot15^{2}=9\cdot225=2025\)となる。
また、\(N<2025\)となる\(x,y\)が存在すると仮定すると、\(x=3i,y=3j\)より\(i,j\)は自然数であり\(\left(i,j\right)=\left(1,2\right)\)より少ない\(i,j\)は\(\left(i,j\right)=\left(1,1\right)\)のみであり\(k^{2}=3^{2}i^{6}+j^{4}=3^{2}1^{6}+1^{4}=9+1=10\)となるがこれを満たす\(k\)は存在しないので矛盾。
従って、背理法より、\(N<2025\)となる\(x,y,z\)は存在しない。
故に\(N=2025\)が最小である。