[2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解
[2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解
\(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\)を整数の範囲で因数分解せよ。
\(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\)を整数の範囲で因数分解せよ。
\begin{align*}
x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 & =x^{4}\left(x+1\right)+x^{2}\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\\
& =\left(x+1\right)\left(x^{4}+x^{2}+1\right)\\
& =\left(x+1\right)\left(x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}\right)\\
& =\left(x+1\right)\left(\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}\right)\\
& =\left(x+1\right)\left(x^{2}+1-x\right)\left(x^{2}+1+x\right)\\
& =\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)
\end{align*}
となる。
\(x^{2}-x+1\)は判別式が\(1-4=-3<0\)なのでこれ以上は因数分解ができない。
\(x^{2}+x+1\)は判別式が\(1-4=-3<0\)なのでこれ以上は因数分解ができない。
従って、因数分解をすると\(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\)となる。
\(x^{2}-x+1\)は判別式が\(1-4=-3<0\)なのでこれ以上は因数分解ができない。
\(x^{2}+x+1\)は判別式が\(1-4=-3<0\)なのでこれ以上は因数分解ができない。
従って、因数分解をすると\(\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\)となる。
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| タイトル | [2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解 |
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