[2005年京都大学文系・数学第4問]3乗同士の差の整数問題

\(a^{3}-b^{3}=65\)は
\begin{align*} 5\cdot13 & =65\\ & =a^{3}-b^{3}\\ & =\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right) \end{align*} となるので、\(a-b\)と\(a^{2}+ab+b^{2}\)の組み合わせは
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline a-b & 1 & 5 & 13 & 65 & -1 & -5 & -13 & -65\\ \hline a^{2}+ab+b^{2} & 65 & 13 & 5 & 1 & -65 & -13 & -5 & -1 \\\hline \end{array} \] となる。
ここで、
\begin{align*} a^{2}+ab+b^{2} & =\left(a-\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}+b^{2}\\ & =\left(a-\frac{b}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となり、\(\left(a,b\right)\ne\left(0,0\right)\)なので、\(a^{2}+ab+b^{2}\ne0\)となり、\(0<a^{2}+ab+b^{2}\)となるので\(0<a-b\)つまり\(a<b\)となる。
これより、\(a-b\)と\(a^{2}+ab+b^{2}\)の組み合わせは
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a-b & 1 & 5 & 13 & 65\\ \hline a^{2}+ab+b^{2} & 65 & 13 & 5 & 1 \\\hline \end{array} \] となる。
ここで、
\[ a-b=\alpha \] \[ a^{2}+ab+b^{2}=\beta \] とおくと、\(a=\alpha+b\)より、
\begin{align*} \beta & =a^{2}+ab+b^{2}\\ & =\left(\alpha+b\right)^{2}+\left(\alpha+b\right)b+b^{2}\\ & =\alpha^{2}+2\alpha b+b^{2}+\alpha b+b^{2}+b^{2}\\ & =\alpha^{2}+3\alpha b+3b^{2} \end{align*} となる。
これより、\(\beta-\alpha^{2}\)は3の倍数にならないといけないのでこれを使って候補を絞る。
\(\alpha=1,\beta=65\)とすると、\(\beta-\alpha^{2}=65-1^{2}=64\overset{3}{\equiv}1\)となるので、\(\alpha=1,\beta=65\)は不適。
\(\alpha=5,\beta=13\)とすると、\(\beta-\alpha^{2}=13-5^{2}=-12\overset{3}{\equiv}0\)となるので、\(\alpha=5,\beta=13\)は適。
\(\alpha=13,\beta=5\)とすると、\(\beta-\alpha^{2}=5-13^{2}=5-169=-164\overset{3}{\equiv}1\)となるので、\(\alpha=13,\beta=5\)は不適。
\(\alpha=65,\beta=1\)とすると、\(\beta-\alpha^{2}=65^{2}-1\overset{3}{\equiv}-1\overset{3}{\equiv}2\)となるので、\(\alpha=65,\beta=1\)は不適。
これより、\(\left(a,b\right)\)の組が存在しても\(\alpha=5,\beta=13\)のときのみとなる。
このとき、\(\beta=\alpha^{2}+3\alpha b+3b^{2}\)なので、
\[ 13=5^{2}+3\cdot5b+3b^{2} \] となり、整理すると、
\begin{align*} 0 & =3b^{2}+15b+25-13\\ & =3b^{2}+15b+12\\ & =3\left(b^{2}+5b+4\right)\\ & =3\left(b+1\right)\left(b+4\right) \end{align*} となるので、\(b=-1,-4\)となる。
\(b=-1\)のとき、\(a=\alpha+b=5-1=4\)となる。
\(b=-4\)のとき、\(a=\alpha+b=5-4=1\)となる。
これより、\(\left(a,b\right)=\left(4,-1\right),\left(1,-4\right)\)となる。