(1)

無限集合を\(A\)とおく。
まず、\(A\)から1つ元を選び\(a_{1}\)とする。
次に\(A\setminus\left\{ a_{1}\right\} \)から1つ元を選び\(a_{2}\)とする。
次に\(A\setminus\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)から1つ元を選び\(a_{3}\)とする。
これを繰り返すと、\(A\)から選んだ元は\(\left\{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right\} \)となり、\(A\)に残った元は\(A\setminus\left\{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right\} \)となる。
これより、\(n\rightarrow\infty\)とすれば、\(A\)から選んだ元は\(\left\{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\cdots\right\} \)となり可算集合となる。
従って、題意は成り立つ。

(2)

無限集合を\(A\)とおく。
\(A\)の有限部分集合全体からなる集合を\(\mathcal{B}\)とする。
すなわち、\(B\in\mathcal{B}\Leftrightarrow B\in2^{A}\land\left|B\right|<\infty\)である。
このとき、任意の\(B\in\mathcal{B}\)に対し、\(B\)は有限集合なので\(B^{c}\ne\emptyset\)となり、選択関数
\[ g:\mathcal{B}\rightarrow\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B^{c},\mathcal{B}\ni B\mapsto f\left(B\right)=b\in B^{c} \] が存在する。
これより、
\[ f\left(1\right)=g\left(\emptyset\right) \] \[ f\left(2\right)=g\left(\left\{ f\left(1\right)\right\} \right) \] \[ f\left(3\right)=g\left(\left\{ f\left(1\right),f\left(2\right)\right\} \right) \] \[ f\left(n\right)=g\left(\left\{ f\left(1\right),f\left(2\right),\cdots,f\left(n-1\right)\right\} \right) \] とすれば\(f:\mathbb{N}\rightarrow A\)は単射となる。