写像の標準分解
写像の標準分解
写像\(f:X\rightarrow Y\)があり、同値関係\(R_{f}\)を\(x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)として、写像\(f'\)を\(f':X\rightarrow X/R_{f}\)とする。
このとき、\(f'\left(x_{1}\right)=f'\left(x_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}R_{f}x_{2}\Leftrightarrow f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)なので、単射\(g':X/R_{f}\rightarrow Y\)が存在する。
これより、終域を\(Y\)から\(\ran\left(f\right)\)にした写像\(g:X/R_{f}\rightarrow\ran\left(f\right),x\mapsto g\left(x\right)\)は全単射となる。
ここで包含写像を\(I_{g}:\ran\left(f\right)\rightarrow Y,x\mapsto x\)とすればこれは単射であり、写像\(f\)は
\[ f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y \] と分解できるので、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\left(g\circ f'\right)\left(x\right)\\ & =\left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x\right) \end{align*} となる。
このように任意の写像\(f:X\rightarrow Y\)は全射\(f':X\rightarrow X/R_{f}\)、全単射\(g:X/R_{f}\rightarrow\ran\left(f\right)\text{、単射}\)\(I_{g}:\ran\left(f\right)\rightarrow Y\)の3つに分解できる。
このとき、\(f\)が全射なら\(I_{g}\)を取り除くことができ、\(f\)が単射なら\(f'\)を取り除くことができる。
写像\(f\)をこのように分解することを標準分解という。
写像\(f:X\rightarrow Y\)があり、同値関係\(R_{f}\)を\(x_{1},x_{2}\in X,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)として、写像\(f'\)を\(f':X\rightarrow X/R_{f}\)とする。
このとき、\(f'\left(x_{1}\right)=f'\left(x_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}R_{f}x_{2}\Leftrightarrow f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\)なので、単射\(g':X/R_{f}\rightarrow Y\)が存在する。
これより、終域を\(Y\)から\(\ran\left(f\right)\)にした写像\(g:X/R_{f}\rightarrow\ran\left(f\right),x\mapsto g\left(x\right)\)は全単射となる。
ここで包含写像を\(I_{g}:\ran\left(f\right)\rightarrow Y,x\mapsto x\)とすればこれは単射であり、写像\(f\)は
\[ f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y \] と分解できるので、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\left(g\circ f'\right)\left(x\right)\\ & =\left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x\right) \end{align*} となる。
このように任意の写像\(f:X\rightarrow Y\)は全射\(f':X\rightarrow X/R_{f}\)、全単射\(g:X/R_{f}\rightarrow\ran\left(f\right)\text{、単射}\)\(I_{g}:\ran\left(f\right)\rightarrow Y\)の3つに分解できる。
このとき、\(f\)が全射なら\(I_{g}\)を取り除くことができ、\(f\)が単射なら\(f'\)を取り除くことができる。
写像\(f\)をこのように分解することを標準分解という。
写像\(f:\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\} \rightarrow\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \)がありグラフを\(G_{f}=\left\{ \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right)\right\} \)とする。
このとき、全射\(f':X\rightarrow X/R_{f}\)のグラフは\(G_{f'}=\left\{ \left(x_{1},C\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},C\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3},C\left(x_{2}\right)\right)\right\} \)となる。
全単射\(g:X/R_{f}\rightarrow\ran\left(f\right)\)のグラフは\(G_{g}=\left\{ \left(C\left(x_{1}\right),y_{1}\right),\left(C\left(x_{2}\right),y_{2}\right)\right\} \)となる。
単射\(I_{g}:\ran\left(f\right)\rightarrow\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \)のグラフは\(G_{I_{g'}}=\left\{ \left(y_{1},y_{1}\right),\left(y_{2},y_{2}\right)\right\} \)となる。
こうすると、
\begin{align*} \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x_{1}\right) & =I_{g}\left(g\left(f'\left(x_{1}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(g\left(C\left(x_{1}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(y_{1}\right)\\ & =y_{1}\\ & =f\left(x_{1}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x_{2}\right) & =I_{g}\left(g\left(f'\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(g\left(C\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(y_{2}\right)\\ & =y_{2}\\ & =f\left(x_{2}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x_{3}\right) & =I_{g}\left(g\left(f'\left(x_{3}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(g\left(C\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(y_{2}\right)\\ & =y_{2}\\ & =f\left(x_{2}\right) \end{align*} となるので、
\[ \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
このとき、全射\(f':X\rightarrow X/R_{f}\)のグラフは\(G_{f'}=\left\{ \left(x_{1},C\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},C\left(x_{2}\right)\right),\left(x_{3},C\left(x_{2}\right)\right)\right\} \)となる。
全単射\(g:X/R_{f}\rightarrow\ran\left(f\right)\)のグラフは\(G_{g}=\left\{ \left(C\left(x_{1}\right),y_{1}\right),\left(C\left(x_{2}\right),y_{2}\right)\right\} \)となる。
単射\(I_{g}:\ran\left(f\right)\rightarrow\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} \)のグラフは\(G_{I_{g'}}=\left\{ \left(y_{1},y_{1}\right),\left(y_{2},y_{2}\right)\right\} \)となる。
こうすると、
\begin{align*} \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x_{1}\right) & =I_{g}\left(g\left(f'\left(x_{1}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(g\left(C\left(x_{1}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(y_{1}\right)\\ & =y_{1}\\ & =f\left(x_{1}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x_{2}\right) & =I_{g}\left(g\left(f'\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(g\left(C\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(y_{2}\right)\\ & =y_{2}\\ & =f\left(x_{2}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x_{3}\right) & =I_{g}\left(g\left(f'\left(x_{3}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(g\left(C\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ & =I_{g}\left(y_{2}\right)\\ & =y_{2}\\ & =f\left(x_{2}\right) \end{align*} となるので、
\[ \left(I_{g}\circ g\circ f'\right)\left(x\right)=f\left(x\right) \] となる。
ページ情報
| タイトル | 写像の標準分解 |
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